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有名な差分近似式

大した知識もない状態でいきなりこんなことをやってしまったので、自分でも理解していないことが多く、これ以上手がつけられませんでした。
内容もとても不親切だし。
基本的なところから着実に進んでいかないといつまで経っても上達しませんね。

さて今回は、基本的なところからやっていこうということで、数値解析をする上で欠かせない差分近似式のうち、有名なものをいくつか紹介。

Tag : 数学 数値解析
差分法で数値解析する(特に微分方程式を解く)ためには、まず微分方程式を差分方程式に変換する必要があります。
その際に、導関数をどのように差分の形に落とすかということが問題になってきます。

それには次のような方法が用いられます。


関数 f(x) の導関数 f'(x) は、十分小さい⊿xを用いて
f'(x) ≒ { f(x+⊿x) - f(x) }/⊿x …… (1)
と近似できます。
この式を用いると、導関数を元の関数で書くことができます。
⊿x→0 の極限が導関数の定義ですね。
精度がほしいのなら、⊿xを小さくすればいいわけです。

実際にコンピュータで計算する上では、x の値は連続的な実数ではなく離散的な数列で与えられます。
そこで、i番目のxの値を xi、刻み幅を⊿xとすると、上式(1)は
f'(xi) ≒ { f(xi+1) - f(xi) }/⊿x …… (1')
と書けます。
このような、変数の値を離散化する操作を差分化といいます。
式(1')が、有名な差分近似の1つ、前進差分近似です。


(1)式と同様に、
f'(x) ≒ { f(x) - f(x-⊿x) }/⊿x …… (2)
としても、導関数の近似式になります。
(2)式も同じように差分化すると
f'(xi) ≒ { f(xi+1) - f(xi) }/⊿x …… (2')
となります。
(2')式のような近似は、後退差分近似と呼ばれます。


もう1つ有名な差分近似として、中心差分近似があります。
これは
f'(x) ≒ { f(x+⊿x) - f(x-⊿x) }/(2⊿x) …… (3)
という式を用いる方法で、差分化すると
f'(xi) ≒ { f(xi+1) - f(xi-1) }/(2⊿x) …… (3')
となります。
ぱっと見では分かりにくいかもしれませんが、実は、(3)も導関数の近似式になっています。たとえば、{ (1)+(2) }/2 とすると(3)に等しくなります。


他にも、流体力学の問題を扱うときには、流れの上の方の値をとる上流差分近似なるものも登場します。

それぞれ一長一短がありますが、それは具体的に登場したときにしましょう。
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数学・コンピュータを中心に、考えたこと・やったことを書いていきます。

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