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いままでの一般化 θ法

以前紹介したいくつかの差分スキームの一般化 θ法 の紹介。

Tags : 数学 数値解析

θ法(θスキームとも)は
∂u/∂t = f( x, t, u, ∂u/∂x, ∂2u/∂x2 )
という形の偏微分方程式に適用できる差分スキームです。

左辺を前進差分近似、右辺を中心差分近似する差分スキームをFTCSスキーム (1)
左辺を後退差分近似、右辺を中心差分近似する差分スキームをBTCSスキーム (2)

とすると、

(1)と(2)の算術平均がすなわちCrank-Nicolsonスキームでした。

これを一般化して、算術平均を 重みつき平均に変えたものはθ法と呼ばれています。重みを表す係数にθという文字が用いられることが多いのでこう呼ぶようです。

式で書くと
{ θ・(1)式 + (1-θ)・(2)式 }
というイメージです。

・θ=0 のとき、BTCSスキーム
・θ=1 のとき、FTCSスキーム
・θ=1/2のとき、Crank-Nicolsonスキーム
になります。


特に、熱伝導方程式
∂u/∂t = α・∂2u/∂x2 (α>0)
に適用した場合は、
v := α・⊿t/(⊿x2)
として
・0≦θ≦1/2 のとき、無条件安定
・1/2<θ≦1 のとき、v≦1/{2(2θ-1)} で安定

という性質があります。

Crank-Nicolson法のときと同じ要領なので、計算は省略。
係数行列の固有値を調べることで導出できます。
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