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差分スキームの収束性 Laxの同等定理

差分スキームの3大性質
・適合性 (consistency)
・安定性 (stability)
・収束性 (convergence)
のうち、適合性と安定性については以前に書きました。

今回は、最後の1つ収束性についてです。

Tag : 数学 数値解析

差分スキームの収束性とは、
離散化間隔を0に近づけたときに、差分方程式のが元の微分方程式のに一致する性質のことをいいます。

適合性の定義とは微妙に違いますね。

適合性や安定性のときとは違い、差分スキームの収束性を定義から直接的に判定することは難しいとされています。
そこで登場するのがLaxの同等定理 (Lax equivalence theorem) です。

定理の内容の前に、1つだけ用語を紹介。
良設定問題

 良設定問題 (well-posed problem) とは、
 ・解が存在する
 ・解が一意である
 ・パラメータを連続的に変化させたとき、解も連続的に変化する
 という性質をもつ数値解析の問題のことをいいます。(手元に資料がなかったのでWikipediaから引用)

 簡単にいうと、扱いやすい問題のことです。


さて、Laxの同等定理の内容は次のとおりです。

Laxの同等定理

 線形微分方程式の良設定問題を差分法で解くとき、次のことが成り立つ。
 差分スキームが適合性かつ安全性をもつ ⇔ 差分スキームが収束性をもつ


つまり、適合性かつ安定性をもつスキームならば自動的に収束性も備えており、また収束性をもつのはそのときだけである、ということ。

この定理から、差分法による数値計算は、(条件を正しく整えさえすれば)微分方程式の真の解に近づいてくれることが保証されます。
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