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固有値の存在範囲 Gerschgorinの定理

行列の固有値の存在範囲について有用な情報を与えてくれる Gerschgorinの定理 を紹介します。

Tags : 数学 数値解析 線形代数

 Gerschgorinの定理

 n次の正方行列 A = (aij) と、その固有値 λ について、
 λの絶対値は、Aの要素の絶対値 の行和(または列和) の最大値を超えない。

 |λ| ≦ max( ∑[k=1→n] |aik| (i=1,2,…,n) )
 |λ| ≦ max( ∑[k=1→n] |aki| (i=1,2,…,n) )



[ 証明 ]

λに属する固有ベクトルを v = t(v1,v2,…,vn) とすると、定義より

Av = λv
⇔ ∑[k=1→n] aikvk = λvi (i=1,2,…,n)


vの成分の中で絶対値が最大のものをvmとすると、固有ベクトルは零ベクトルでないからvm≠0となることに注意して

∑[k=1→n] amkvk = λvm
⇔ λ = ∑[k=1→n] amk(vk/vm)
⇒ |λ| = | ∑[k=1→n] amk(vk/vm) |
⇒ |λ| ≦ ∑[k=1→n] | amk(vk/vm) |
⇒ |λ| ≦ ∑[k=1→n] |amk|・|vk/vm|

|vk/vm|≦1 だから
⇒ |λ| ≦ ∑[k=1→n] |amk|
⇒ |λ| ≦ max( ∑[k=1→n] |aik| (i=1,2,…,n) )


Aの固有値とtAの固有値は一致するから、列についても同様にして示される。 Q.E.D.
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