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固有値の存在範囲2 Gerschgorinの円定理

前回紹介したGerschgorinの定理の派生系である、Gerschgorinの円定理を紹介します。

Tags : 数学 数値解析 線形代数

 Gerschgorinの円定理 (Gerschgorin circle theorem)

 n次の正方行列 A = (aij) について、Aの固有値 λ とする。
 Aのi行目の対角要素以外の絶対値の和を Ri とする。
 Ri = ∑[k=0→n, k≠i] |aik|
 半径Ri, 中心aiiである複素平面上の円盤(境界を含む)を Di とする。
 Di : |z-aii| ≦ Ri

 このとき、λ は Di (i=1,2,…,n) 内のどこかに存在する。
 (円盤が重なるときはそれらの和集合とする)


[ 証明 ]
λ = ∑[k=1→n] amk(vk/vm)
までは、Gerschogorinの定理の証明と同じ。
( vmは、固有ベクトルの成分のうち絶対値最大のものを表す )
∑の中からk=mの項だけ左辺に移項して
⇔ λ-amm = ∑[k=1→n, k≠m] amk(vk/vm)
絶対値をとって
⇒ |λ-amm| = | ∑[k=1→n, k≠m] amk(vk/vm) |
⇒ |λ-amm| ≦ ∑[k=1→n, k≠m] | amk(vk/vm) |

|vk/vm|≦1 だから
⇒ |λ-amm| ≦ ∑[k=1→n, k≠m] |amk| = Ri
⇔ λ ∈ Dm
⇒ λ ∈ Di (i=1,2,…,n)

(最後の⇒は、mの値は具体的には求まらないが λが Di (i=1,…,n) のどこかにあることはいえる、ということ)

Aの固有値とtAの固有値は一致するから、列についても同様にして示される。 Q.E.D.


次回は、前回・今回で紹介した定理を実際に使ってみます。
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