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Robin境界条件の差分法への適用

境界において満足するべき1階線形微分方程式を指定する、Robin(ロビン)境界条件下での数値解析方法について考えます。

計算は、Neumann条件 のときとほとんど同じ要領です。

Tags : 数学 数値解析
1次元のRobin条件は一般に

左端(x=0) : α∂u/∂x|x=0 + βu(0,t) = g(t)
右端(x=L) : α∂u/∂x|x=L + βu(L,t) = h(t)

と書かれます。
(α≠0, β≠0; g(t),h(t)は適当な既知関数 )

α, β も時間の関数であってもいいのですが、そのような例はあまり登場しない(少なくとも私は知らない)ので、ここでは定数として扱います。
もし時間の関数であっても、以下の流れは全く同様です。

少しでも式を簡単にするために、
式全体をαで割っておいて、β/αをα、g(t)/αをg(t)、h(t)/αをh(t)と置き直すと

左端(x=0) : ∂u/∂x|x=0 + αu(0,t) = g(t) …… (1)
右端(x=L) : ∂u/∂x|x=L + αu(L,t) = h(t) …… (2)

となります。以下、この式をRobin条件と呼ぶことにします。


いつものように、1次元の熱伝導方程式
∂u/∂t = α・∂2u/∂x2 (α>0, 0≦x≦L)
を例にとって考えます。

Neumann条件を差分法に適用したときと同じ要領でRobin条件を離散化すると

(1)式は
∂ud(x0)/∂t
= { 2α/(⊿x2) }・{ ud(x1) - (1-α⊿x)・ud(x0) - g(tn)・⊿x }
 …… (1')

(2)式は
∂ud(xN)/∂t
= { 2α/(⊿x2) }・{ ud(xN-1) - (1+α⊿x)・ud(xN) + h(tn)・⊿x }
 …… (2')

差分スキームにFTCSスキームを採用した場合は、時間微分を前進差分で近似して

(1')式は
ud(x0,tn+1)
= {1-2v(1-α⊿x)}・ud(x0,tn) + 2v・ud(x1,tn) - 2v・g(tn)・⊿x


(2')式は
ud(xN,tn+1)
= {1-2v(1+α⊿x)}・ud(xN,tn) + 2v・ud(xN-1,tn) + 2v・h(tn)・⊿x


ただし、v = α・⊿t/(⊿x2)

となり、境界における時間発展の式が得られました。
FTCS以外の差分スキームを用いる場合も同じようにして計算できます。
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