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ε-δ へんな関数の有理数での連続性

ε-δ 3/5回目。

第2,3回目の話題はこの関数
f(x)=\left\{\begin{matrix}x&(x\in\mathbb{Q})\\ 0&(x\in\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})\end{matrix}\right
の連続性についてです。
無理数での連続性は前回調べたので、今回は有理数の場合をやってみます。

Tags : 数学 解析学

さくっとやりましょう。無理数のときと違って、こっちはすぐに終わります。

aを有理数として、f(x)がaで連続かどうかを調べます。

「f(x) が x=a で連続」
⇔「∀ε>0, ∃δ>0, ∀x ( |x-a|<δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε )」
「∀ε>0, ∃δ>0, ∀x ( |x-a|<δ ⇒ |f(x)-a|<ε )」

ここで、|x-a|<δ をみたすような無理数 x が必ず存在することはすぐにわかって、
そのような x については、( f(x)=0 だから )
|f(x)-a|<ε ⇔ |a|<ε
となります。

なので、
・a≠0 のとき
ε>0は、いくらでも0に近い値をとることができるので、いつかは、不等式 |a|<ε が成立しなくなるようなεを取ることができます。
つまり、
「f(x) が x=a で不連続」
「∃ε>0, ∀δ>0, ∃x ( |x-a|<δ ∧ |f(x)-a|≧ε )」
をみたしています。
(この場合は、∃ε>0 どころか ∀ε>0 で言えています。)

・a=0 のとき
命題を書き直すと、
「f(x) が x=0 で連続」
「∀ε>0, ∃δ>0, ∀x ( |x|<δ ⇒ |x|<ε )」
となります。
この命題はあきらかに真で、
どのように ε>0 を選んでも、(たとえば) δ=ε とすれば、すべての x について、
|x|<δ ⇒ |x|<ε
が成立します。

以上より、
f(x) (xは有理数) は x=0 で連続、x≠0 で不連続だということがわかりました。

前回の記事の結果とまとめると、
f(x)は、原点でのみ連続な関数だということが証明されました。おわり

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