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ε-δ 整数で連続な関数

ε-δ 4/5回目。

任意の整数でのみ連続な関数を紹介します。
( 第2, 3回目の内容を知っている前提で書いたので、読んでない方は先に目を通されるのがよいと思います。 )

Tags : 数学 解析学

実は、今までの3回はこれを書きたいがためのものだったのですが、逆に、前3回で説明しすぎたので今回書くことがなくなりました。証明は第2,3回のものとほとんど同じ要領でできるので省略省略。
なので、今回はε-δ論法を使いません...


さて本題


f(x)=\left\{\begin{matrix}\sin(\pi x)&(x\in\mathbb{Q})\\ 0&(x\in\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})\end{matrix}\right

が、x = 0, ±1, ±2, … でのみ連続な関数です。
これもグラフには描けそうもないですが、あえて描くならこんな感じ。
y=f(x)のグラフもどき

第2,3回でとりあげた「原点で連続な関数」をうにうに曲げて、x=(整数)の点でx軸と交わるようにしたものがこれです。
一応、この関数は自分で考えたものですが、まぁ、ものの本を当たれば似たようなのが見つかると思います。
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