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写像と逆像の性質についてのメモ

証明しようとしたらちょっとだけひっかかったので、忘れないようにメモしておこう。
そのための 外部記憶 (External Memory).

Tag : 数学

集合 S
S の部分集合 X, Y
写像 f : S → S
f の逆像 f-1 を考える。

このとき、次が成立する。

1. f (X) ∩ f (Y) ⊃ f (X∩Y)
2. f-1(X) ∩ f-1(Y) = f-1(X∩Y)


これは、標準的な集合・位相の教科書には必ず載っている基本的なこと。
証明しておくと、



1.
∀a ∈ f (X∩Y) について、a ∈ f (X) ∩ f (Y) が言えればいい。

a ∈ f (X∩Y).
∃x ∈ X∩Y があって、a = f(x).
x ∈ X∩Y から、x ∈ X かつ x ∈ Y.
x ∈ X から、f (x) ∈ f (X).
x ∈ Y から、f (x) ∈ f (Y).
a = f(x) と f (x) ∈ X から、a ∈ f (X).
a = f(x) と f (x) ∈ Y から、a ∈ f (Y).
a ∈ f (X) と a ∈ f (Y) から、a ∈ f (X) ∩ f (Y).

(丁寧にやりすぎた)

2.
∀x ∈ f-1(X∩Y) について、x ∈ f-1(X) ∩ f-1(Y)
かつ
∀x ∈ f-1(X) ∩ f-1(Y) について、x ∈ f-1(X∩Y)
が言えればいい。

前者の証明
x ∈ f-1(X∩Y).
f (x) ∈ X∩Y.
f (x) ∈ X かつ f (x) ∈ Y.
x ∈ f-1(X) かつ x ∈ f-1(Y).
x ∈ f-1(X) ∩ f-1(Y).

後者の証明
x ∈ f-1(X) ∩ f-1(Y).
x ∈ f-1(X) かつ x ∈ f-1(Y).
f (x) ∈ X かつ f (x) ∈ Y.
f (x) ∈ X∩Y.
x ∈ f-1(X∩Y).



ひっかかったのは、1. で f (X) ∩ f (Y) ⊂ f (X∩Y) がなぜ言えないのか? ということ。
2. の後者の証明を真似して (つまり、f と f-1 をそっくり入れ替えて)

(1) x ∈ f (X) ∩ f (Y).
(2) x ∈ f (X) かつ x ∈ f (Y).
(3) f-1(x) ∈ X かつ f-1(x) ∈ Y.
(4) f-1(x) ∈ X∩Y.
(5) x ∈ f (X∩Y).

とすれば、証明されたことになるのではないか? と思った。

オチとしては、(2) から (3) を導出するのがダメ。
というより、そもそも (3) の f-1(x) なんて数は定義されていない。
※ f-1 は逆像であって、一般には写像ではない!!


以上、逆像を扱う際には注意しましょう、というお話でした。
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