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z^a=1 (a:自然数) の解

za = 1 シリーズ : 1/5 回目

za = 1 (z : 複素変数, a : 自然数) …… (*)

の解についての有名な結果です。

[ リンク ]
1/5 回目 : a が自然数
2/5 回目 : a が整数
3/5 回目 : a が有理数
4/5 回目 : a が実数
5/5 回目 : a が複素数

Tags : 数学 代数学

とりあえず、(*) 式を解いてみましょう。

まず、z を極座標で書いておきます。
z := r e (r≧0, 0≦θ<2π) …… (1)

(*) に (1) を代入して、
za = 1
⇔ (r e)a = 1
⇔ ra eiaθ = 1
⇔ ra eiaθ = 1 ei(2kπ)
(k : 任意の整数)
となるので、
r = 1, aθ = 2kπ
であるとわかります。

ゆえに、
z = ei(2kπ/a) (k : 任意の整数)
この結果から、(*) には a 個の(相異なる)解があることがわかります。
また、その偏角は 2π を a 等分した値になっています。


この解 z の複素平面上での分布を見てみましょう。
いくつかの a について、実際にプロットしてみました。(クリックするとちょっとだけ大きくなります。)

a = 3 のとき
z^3=1 の解

a = 7 のとき
z^7=1 の解

a = 8 のとき
z^8=1 の解

図中の円は、原点中心の単位円です。
図中の線分は、k = 0, 1, 2, …, a-1 に対応する点を順につないだ軌跡(と座標軸)です。

軌跡はきれいな正多角形になっています。
なお、図からは読み取れませんが、k = 0 が点 1+0i に対応し、k が増えるごとに左回りに進みます。


自然数乗のケースの考察はこの程度にしておきます。
次の記事では、もう少し一般化した、整数乗のケースを扱います。
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