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z^a=1 (a:整数) の解

za = 1 シリーズ : 2/5 回目

za = 1 (z : 複素変数, a : 整数) …… (*)

の解についての有名な結果です。

[ リンク ]
1/5 回目 : a が自然数
2/5 回目 : a が整数
3/5 回目 : a が有理数
4/5 回目 : a が実数
5/5 回目 : a が複素数

Tags : 数学 代数学

(*) 式を前回と同じように解くと、
z = ei(2kπ/a) (k : 任意の整数)
となります。

ただし、導出過程に a で割る操作があるので、 a = 0 のときだけはこの式が使えません。
このケースは先に処理しておきましょう。


a = 0 のとき

(*) は
1 = 1
となり、どんな z についても成り立つ。
つまり、このときは任意の複素数が解になる。


あとは a ≠ 0 のケースですが、a > 0 は前回やってあるので、残すは a < 0 だけです。

a < 0 のとき

解の表式としては、上に書いたように
z = ei(2kπ/a) (k : 任意の整数)
となります。これを、
z = ei(-2kπ/(-a)) (k : 任意の整数)
と書き直すと、-a は自然数なので、この解は
"自然数のときの解で偏角にマイナスをつけたもの" または
"自然数のときの解を x 軸について反転したもの"
などと見ることができます。

解の図を見ても明らかなように、解は x 軸について対称な形に分布しているので、解全体の集合(解集合)としては a のときと -a のときは全く同じものになります。
z^7=1 の解
a = 7, -7 のとき (再掲, 円は単位円で、緑の点が解)

自然数のときとの違いは、
k = 0, 1, 2, …, (-a)-1
に対応する点が、1+0i から始まって、右回りに進むことだけです。

ちなみに、a と -a の解集合が一致することは、(*) 式の両辺に z-a をかければ
1 = z-a (-a : 自然数)
となるので、ある意味で当然の結果ですね。


次の記事では、さらに一般化して、有理数乗のケースを扱います。
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Author : fura2
数学・コンピュータを中心に、考えたこと・やったことを書いていきます。

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