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z^a=1 (a:複素数) の解

za = 1 シリーズ : 5/5 回目

za = 1 (z : 複素変数, a : 複素数) …… (*)

の解についての考察および今シリーズのまとめです。

[ リンク ]
1/5 回目 : a が自然数
2/5 回目 : a が整数
3/5 回目 : a が有理数
4/5 回目 : a が実数
5/5 回目 : a が複素数

Tags : 数学 代数学

第1回の結果から、a ≠ 0 のもと、(*) の解は
z = zk = ei(2kπ/a) (k : 任意の整数)
と表せます。
今回、a は複素数なので
a = ax + i ay
と書くことにすると、この解は
z=z_k=exp\left\{\frac{2\pi k(a_y+\mathrm ia_x)}{a_x^2+a_y^2}\right\}
となります。


まずは、いくつかの a について z の点をプロットしてみた結果をみてみましょう。

緑の点は解、円は単位円、線分は zk と zk+1 を結んだもの。
円の縮尺が図によって違うのは、単に見やすくするためです。
すべての解は描けないので、k = 0, 1, 2, …, N に対応する解のみをプロットしています。


z^a=1 の解
a = 1.2 + 0.007i, N = 20 のとき

z^a=1 の解
a = √2 - 0.02i, N = 10 のとき

z^a=1 の解
a = 1.1 + 0.01i, N = 24 のとき

z^a=1 の解
a = 1.1 - 0.01i, N = 24 のとき

z^a=1 の解
a = 1.02 - 0.001i, N = 300 のとき

どの例でも ay にはかなり小さい値を設定しています。
これは、z の絶対値が k が増えるにつれて指数オーダーで大きくなるので、
ay を小さくして少しでも発散を遅くしないと、すぐに画面外に飛んでいってしまうためです。

また、解の分布の傾向には、ay の正負が関係していることが見てとれます。
・ ay>0 のときは、zk は k が大きくなるにつれて無限遠点に飛んでいってしまいます。
・ ay<0 のときは、zk は k が大きくなるにつれて原点に近づいています。


実数だけで考えていると複雑な問題も、複素数に拡張すると見通しがよくなることはままあります。

今回の問題 (*) の解に対する1つの描像として
「 等角度ずつ回転しながら、原点からの距離が等比的に変化するような点の集まり 」
のようなものを考えることができます。

a が実数のケースは、zk がすべて単位円上に乗っているような特別な状況だった、という風に理解できます。

さらに言うなら、a が有理数のケースは、円上を何周かするといずれは z0 の点に戻ってくるようなきわめて特別な状況だった、ということです。



[ 余談 ]

描像(びょうぞう)が変換できなかったので不思議に思って調べてみたら、どうやら一般的な言葉ではないようだ。
今まで当然のように使っていたのでとても意外だった。

参考 : http://d.hatena.ne.jp/hashi/20040205
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