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最大公約数と最小公倍数 (残りご飯)

先の記事で書ききれなかったことをつらつらと。
思いつきで書いているので、間違いが多分にあるかも。

Tag : 数学

先の記事で、正整数 a, b を次のように素因数分解した。
a = 2a1 3a2 5a3 ..
b = 2b1 3b2 5b3 ..

ここで、ai, bi0 以上の整数。

素数は無数にあるので、この数列 {ai}, {bi} も無数の項を持つ。
なので、a, b は非負整数を成分とする無限次元のベクトルに対応付けられる。
その対応を <-> という記号でかくことにすると、たとえば、
1 <-> (0, 0, 0, ... )
2 <-> (1, 0, 0, 0, ... )
7 <-> (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, ... )
24 <-> (3, 1, 0, 0, 0, ... )
77 <-> (0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, ... )
a <-> (a1, a2, a3, ... )
b <-> (b1, b2, b3, ... )
など。

また、この対応 (写像) を f : NN0 とすれば、次のことがわかる。
  • f は単射
    ∵) 素因数分解の一意性より明らか。

  • f は全射でない
    ∵) たとえば、ベクトル (1, 1, 1, ... ) に対応する自然数はない。

  • f (a × b) = f (a) + f (b)

  • f (a ÷ b) = f (a) - f (b)

また、上の記号を使えば、
f (a) = (a1, a2, a3, ... )
f (b) = (b1, b2, b3, ... )
.

GCD, LCM についても同様に、
f ( gcd(a,b) ) = (min(a1,b1), min(a2,b2), min(a3,b3), ... )
f ( lcm(a,b) ) = (max(a1,b1), max(a2,b2), max(a3,b3), ... )
.


ベクトル (1, 1, 1, ... ) に対応する自然数はない、と書いた。それは正しい。
では、そのような数を形式的にでも考えられないだろうか?
形式的数 x = f-1 ( (1, 1, 1, ... ) ) を考えるとすれば、それはどんなものだろう?
x はすべての素数の積であるから、たとえば次のことはいえそうだ。
  • x は平方因子をもたない任意の自然数で割り切れる。

  • x は平方因子をもつ任意の自然数で割り切れない。

このような数は、数学の何かの分野で研究されているのだろうか?
少なくとも私は聞いたことがないが。
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