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memo : 凸関数

基本事項をいくつかメモしておく。
あまり一般的なところでやっても仕方ないので Rn でやる。

Tag : 数学

定義

関数 f : RnR が凸 (convex) とは、
任意の t ∈ [0, 1] と任意の x, y ∈ Rn に対して
f (tx+(1-t)y) = t f (x) + (1-t) f (y)
となること

直感的には、f (x) = x^2 とか f(x, y) = x^2 + y^2 とか。

性質

  • 凸関数 + 凸関数 = 凸関数

  • λ × 凸関数 = 凸関数 ( λ ≧ 0 )

  • max( 凸関数, 凸関数 ) = 凸関数
    ここの E も参照

  • 目的関数が凸のとき、山登り法で目的関数を最小化できる
    n = 1 のときは三分探索が使える

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Author : fura2
数学・コンピュータを中心に、考えたこと・やったことを書いていきます。

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